Συνάρτηση ζήτα Ρήμαν

Η συνάρτηση ζήτα ή συνάρτηση ζήτα του Riemann, από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Μπέρναρντ Ρίμαν είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία αριθμών, λόγω της σχέσης της με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η φυσική, η θεωρία πιθανοτήτων και η εφαρμοσμένη στατιστική.

Ορισμός

Complex zeta
Η συνάρτηση ζήτα στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών.
Zeta
Η ζήτα συνάρτηση για πραγματικούς μεγαλύτερους του 1.

Η συνάρτηση ζήτα ζ(s)\zeta(s) είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης άπειρης σειράς, όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας:

ζ(s)=∑k=1∞1ks{\zeta(s)} = {\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{s}}}}

Στην περιοχή {s∊ℂ:Re(s)>1}\{s\in \mathbb{C} : \mi{Re}(s)>1\}, αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.

Η συνάρτηση ζήτα ορίζεται ως η αναλυτική επέκταση της πάνω συνάρτησης σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, καθώς ο Riemann έδειξε ότι αυτή η αναλυτική επέκταση για Re(s) ≤ 1 και s≠1 υπάρχει και είναι μοναδική, ενώ στο σημείο s=1 του μιγαδικού επιπέδου προκύπτει η αρμονική σειρά η οποία αποκλίνει προς το +∞.

Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους πρώτους αριθμούς με την εξής σχέση, που ανακαλύφθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ:

ζ(s)=∏p∊ℙ11−p−s,s∊ℂ∧Re(s)>1,{\zeta(s)}=\prod _{p\in \mathbb{P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}},\qquad {s\in \mathbb {C}} \wedge {\mi{Re}(s)>1},

όπου ℙ\mathbb {P} το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.

Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).

Επεκτάσεις

Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στην περιοχή {s∊ℂ:Re(s)>0}\{s\in \mathbb {C} : \mi{Re}(s)>0\} σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξης 1 στο s=1s=1. Η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:

ζ(s)=12+1s−1−s∫1∞saw(x)xs+1dx,\zeta (s)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\mi{saw}(x)}{x^{s+1}}}dx,

όπου saw(x)=x−⌊x⌋−12{\mi{saw}(x)}={x-\lfloor x\rfloor - \frac{1}{2}} (με ⌊x⌋\lfloor x\rfloor δηλώνεται το ακέραιο μέρος του xx.

Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το ℂ\mathbb C σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο s=1s=1. Για Re(s)>1−q\mi{Re}(s) > {1-q} η επεκταμένη αυτή συνάρτηση είναι:

ζ(s)=12+1s−1+∑r=2qBrr!s(s+1)…(s+r−2)−1q!s(s+1)…(s+q−1)∫1∞B˜q(x)xs+qdx,{\zeta (s)}={{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+\sum _{r=2}^{q}{\frac {B_{r}}{r!}}s(s+1)\ldots (s+r-2)-{\frac {1}{q!}}s(s+1)\ldots (s+q-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {{\tilde {B}}_{q}(x)}{x^{s+q}}}dx},

όπου BrB_r οι αριθμοί Bernoulli, B˜q(x):=Bq(x−⌊x⌋){\tilde {B}}_{q}(x):={B_{q}(x-\lfloor x\rfloor )}, Bq(x)B_{q}(x) τα πολυώνυμα Bernoulli και όπου το q μπορεί να πάρει οσοδήποτε μεγάλη τιμή.

Σχέσεις

Συναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης (functional equation):

ζ(s)=2sπs−1sin(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s),s∊ℂ,{\zeta (s)}=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),\qquad s\in \mathbb {C},

όπου Γ\Gamma η συνάρτηση γάμμα.

Η συνάρτηση γάμμα (ή ακριβέστερα η αναλυτική προέκτασή της στο ℂ\mathbb{C}) έχει πόλους τάξης 1 στο s=−k,k∊ℕ0{s=-k},\,k\in \mathbb{N}_{0}. Η ζήτα συνάρτηση μηδενίζεται συνεπώς για s=−2k,k∊ℕ*{s=-2k}, {k\in \mathbb{N}^{*}}.

Υπόθεση του Riemann

Η υπόθεση του Riemann είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Δηλώνει ότι εκτός από τις τιμές s=−2k,k∊ℕ*{s=-2k},{k\in \mathbb{N}^{*}} η συνάρτηση ζήτα μηδενίζεται μόνο για ss με Re(s)=12{\mi{Re}(s)}=\frac{1}{2}.

Από την συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα και τις ιδιότητες της συνάρτησης γάμα προκύπτει ότι η συνάρτηση ζήτα για s∊ℂs\in \mathbb {C} με Re(s)<0{\mi{Re}(s)}<0 μηδενίζεται μόνο για s=−2k,k∊ℕ*{s=-2k},{k\in \mathbb {N} ^{*}}. Στην περιοχή {s∊ℂ:Re(s)>1}\{{s\in \mathbb {C}} : {{\mi{Re}(s)}>1} \} προφανώς δε μηδενίζεται. Επίσης αποδυκνείεται ότι ζ(s)≠0{\zeta(s)} \neq 0 για Re(s)∊{0,1}{\mi{Re}(s)}\in{\{0,1\}}. Συνεπώς οι υπόλοιπες τιμές που τη μηδενίζουν πρέπει να ικανοποιούν 0<Re(s)<10<{\mi{Re}(s)}<1.

Βιβλιογραφία

Μαθηματικά

Ιστορική εξέλιξη